<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\documentclass[pdf,colorBG,slideColor]{prosper}
\usepackage[toc,highlight,bwm]{HA-prosper}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{multimedia}
\input amssym.def
\input{amssym}
\usepackage{bm}
\usepackage{psfrag}
\usepackage{epic,eepic}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage{t1enc}
\usepackage[magyar]{babel}

\newrgbcolor{darkgreen}{0.0 0.5 0.0}
\newrgbcolor{lightblue}{0.0 0.5 1.0}

\newcommand{\ud}{\mathrm{d}}
\newcommand{\ti}{\mathrm{i}}
\newcommand{\te}{\mathrm{e}}

\HAPsetup{%
tsnav=FullScreen,
nsnav=FullScreen,
iacolor=gray,
stype=1
}
\title{\vspace*{-1.0cm} {\sf \small Vibac MoMoSz}\\
{\sf \small 2008. március 3.} \vspace{1.5cm} \\
{Móduselemzés}}
\author{Fiala Péter
}

\TitleSlideNav{FullScreen}
\NormalSlideNav{ShowBookmarks}
\LeftFoot{MoMoSz}
\RightFoot{2008. március 3.}

\begin{document}
% ==================================================================================
\maketitle


% ==================================================================================
\begin{slide}{Bevezető}
	\begin{itemize}
		\item 	Cél: Mért $H_j(\omega)$ átviteli függvények vagy $h_j(t)$ impulzusválaszok alapján megbecsülni egy lineáris rendszer paramétereit.
		\begin{itemize}
			\item Frekvenciatartományban
			\begin{eqnarray}
			H_{j}(\omega)
			&amp;=&amp; \sum_{n=1}^{N} \left( \frac{r_{jn}}{\ti\omega - \lambda_n} + \frac{r_{jn}^*}{\ti\omega - \lambda_n^*} \right), \qquad j = 1 \dots S
			\end{eqnarray}
	%
	$\lambda_n = -\delta_n+\ti \omega_n$ az $n$-edik komplex pólus,\\
	$r_{jn}$ a $j$-edik átviteli függvényhez és az $n$-edik pólishoz tartozó reziduum.
	\item 		Ugyanez az időtartományban:
	%
\begin{eqnarray}
	h_{j}(t)
	&amp;=&amp; \sum_{n=1}^{N} \left( r_{jn} \te^{\lambda_n t} + r_{jn}^* \te^{\lambda_n^* t} \right), \qquad j = 1 \dots S \\
	&amp;=&amp; 2 \sum_{n=1}^{N} a_{jn} \te^{-\delta_n t} \cos(\omega_n t + \phi_{jn})
	\end{eqnarray}
	%
	$r_{jn} = a_{jn} \te^{\ti\phi_{jn}}$.
		\end{itemize}
	\end{itemize}
	
\end{slide}

% ==================================================================================
\begin{slide}{Bevezető}
\begin{itemize}
	\item Megoldás két lépésben
	\begin{itemize}
		\item Komplex pólusok lokalizálása $\rightarrow$ Least Squares Complex Exponential (LSCE) módszer (stabilizációs diagram)
		\item Ismert pólusok alapján a reziduumok becslése $\rightarrow$ Least Squares Time Domain (LSTD) módszer
	\end{itemize}
\end{itemize}
\end{slide}

% ==================================================================================
\begin{slide}{LSCE (Time MDOF)}
	\begin{itemize}
		\item Pólusok illesztése az időtartományban
		\begin{itemize}
			\item Időben folytonos eset
	\begin{equation}
	h_{j}(t)
	= \sum_{n=1}^{N} \left( r_{jn} \te^{\lambda_n t} + r_{jn}^* \te^{\lambda_n^* t} \right)
	\end{equation}
	%
	$h_j(t)$ egy $2N$-edrendű lineáris differenciálegyenlet megoldása:
	%
	\begin{equation}
		h_j^{(2N)}(t) + a_1 h_j^{(2N-1)}(t) + \dots + a_{2N} h_j(t) = 0
	\end{equation}
			\item Időben diszkrét eset
	\begin{eqnarray}
	h_{j}[k] = h_j(k\Delta t)
	&amp;=&amp; \sum_{n=1}^{N} \left( r_{jn} (\te^{\lambda_n \Delta t})^k + r_{jn}^* (\te^{\lambda_n^* \Delta t})^k \right) \\
	&amp;=&amp; \sum_{n=1}^{N} \left( r_{jn} z_n^k + r_{jn}^* {z^*_n}^k \right), \quad j = 1 \dots S, \quad k = 0 \dots K-1
	\end{eqnarray}
	%
	$h_j[k]$ egy lineáris differenciaegyenlet megoldása:
	%
	\begin{equation}
		h_j[k+2N] + a_1 h_j[k+2N-1] + \dots + a_{2N} h_j[k] = 0
	\end{equation}
			
		\end{itemize}
	\end{itemize}
	%
	%
\end{slide}



% ==================================================================================
\begin{slide}{LSCE (Time MDOF)}
	\begin{equation}
		h_j[k+2N] + a_1 h_j[k+2N-1] + \dots + a_{2N} h_j[k] = 0
		\label{eq:lscefindiff}
	\end{equation}
	%
	\Azr({eq:lscefindiff}) egyenlet felírása $h_j[k]$ összes $2N+1$ hosszú mintaszakaszára:
	%
	\begin{equation}
		\begin{bmatrix}
			h_j[2N-1] &amp; \dots &amp; h_j[0] \\
			h_j[2N] &amp; \dots &amp; h_j[1] \\
			\vdots &amp; \vdots &amp; \vdots \\
			h_j[K-2] &amp; \dots &amp; h_j[K-2N+1] \\
		\end{bmatrix}
		\left\{\begin{matrix}
			a_1 \\ \vdots \\ a_{2N}
		\end{matrix}\right\}
		=
		\left\{\begin{matrix}
			-h_j[2N] \\ -h_j[2N+1] \\ \vdots \\ -h_j[K-1]
		\end{matrix}\right\}
	\label{eq:}
\end{equation}
%
\begin{equation}
	{\bf R}_j {\bf a} = {\bf h}_j
	\label{eq:lscematrix}
\end{equation}
%
\eqref{eq:lscematrix} felírása az összes átviteli függvényre:
%
\begin{equation}
	\begin{bmatrix}
	{\bf R}_1 \\
	\vdots \\
	{\bf R}_S
	\end{bmatrix}
	{\bf a}
	=
	\left\{\begin{matrix}
	{\bf h}_1 \\
	\vdots \\
	{\bf h}_S
	\end{matrix}\right\}	
	\label{eq:}
\end{equation}
%
Túlhatározott egyenletrendszer legkisebb négyzetes hibájú megoldása:
%
\begin{equation}
	\bf a = \left({\bf R}^{\mathrm{T}} {\bf R}\right)^{-1} {\bf R}^{\mathrm{T}} {\bf h}
	\label{eq:}
\end{equation}
\end{slide}

% ==================================================================================
\begin{slide}{LSCE (Time MDOF)}
	Az ${\bf a}$ együtthatókkal felírt egyenlet karakterisztikus polinomja
	\begin{equation}
		z_n^{2N} + a_1 z_n^{2N-1} + \dots + a_{2N} = 0
	\end{equation}

	A karakterisztikus polinom komplex konjugált gyökpárjai adják meg a pólusokat:
	%
	\begin{equation}
		\lambda_n = \frac{\log z_n}{\Delta t}
		\label{eq:}
	\end{equation}
\end{slide}


% ==================================================================================
\begin{slide}{LSTD (Modal Synthesis)}
	\begin{equation}
	h_{j}(t)
	= \sum_{n=1}^{N} \left( r_{jn} \te^{\lambda_n t} + r_{jn}^* \te^{\lambda_n^* t} \right)
	\end{equation}
	%
	A $h_{j}(t)$ átviteli függvény lineárisan függ a reziduumoktól:
	%
	\begin{equation}
	\left\{\begin{matrix} \\ \\ h_j(t) \\ \\ \\ \end{matrix}\right\}
	=
	\begin{bmatrix}
	\left\{\begin{matrix} \\ \\ \te^{\lambda_1 t} \\ \\ \\ \end{matrix}\right\} &amp;
	\left\{\begin{matrix} \\ \\ \te^{\lambda^*_1 t} \\ \\ \\ \end{matrix}\right\} &amp;
	\dots &amp;
	\left\{\begin{matrix} \\ \\ \te^{\lambda_N t} \\ \\ \\ \end{matrix}\right\} &amp;
	\left\{\begin{matrix} \\ \\ \te^{\lambda^*_N t} \\ \\ \\ \end{matrix}\right\}
	\end{bmatrix}
	\left\{\begin{matrix}
	r_{j1} \\ r^*_{j1} \\ \vdots \\ r_{jN} \\ r^*_{jN}
	\end{matrix}\right\}
	\end{equation}
	%
	Mátrixos alakban (diszkrét minták vektoraival)
	%
	\begin{equation}
	{\bf h}_j = {\bf Q} {\bf r}_j 
	\label{eq:}
	\end{equation}
	%
	Az összes átviteli függvényre felírva:
	%
	\begin{equation}
	\begin{bmatrix}
	{\bf h}_1 \dots {\bf h}_S
	\end{bmatrix}
	=
	{\bf Q}
	\begin{bmatrix}
	{\bf r}_1 \dots {\bf r}_S
	\end{bmatrix}
	\label{eq:}
\end{equation}

\begin{equation}
	\begin{bmatrix}
	{\bf r}_1 \dots {\bf r}_S
	\end{bmatrix} = \left({\bf Q}^{\mathrm{T}} {\bf Q}\right)^{-1} {\bf Q}^{\mathrm{T}} \begin{bmatrix}
	{\bf h}_1 \dots {\bf h}_S
	\end{bmatrix}
	\label{eq:}
\end{equation}

\end{slide}




\end{document}</pre></body></html>